Toán học Lớp 10. Nhận diện việc có dùng toàn bộ phần tử hay không và thứ tự có tạo kết quả mới hay không.
Kiến thức cần nhớ
**1. Giai thừa**
Với $n\in\mathbb N$:
$n!=1\cdot2\cdots n,\qquad0!=1$
Các công thức $P_n,A_n^k,C_n^k$ dưới đây dùng cho các phần tử **phân biệt**, với $0\le k\le n$.
**2. Hoán vị**
Sắp xếp toàn bộ $n$ phần tử phân biệt vào $n$ vị trí phân biệt:
$P_n=n!$
Dấu hiệu: dùng tất cả phần tử và thay đổi thứ tự tạo cách mới.
**3. Chỉnh hợp**
Chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử phân biệt rồi xếp vào $k$ vị trí/vai trò phân biệt:
$A_n^k=n(n-1)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$
Dấu hiệu: chỉ dùng $k$ phần tử và **có xét thứ tự**, như phân công chức vụ.
**4. Tổ hợp**
Chọn một nhóm $k$ phần tử từ $n$ phần tử phân biệt, không xét thứ tự:
$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
Hai tính chất thường dùng:
$C_n^k=C_n^{n-k},\qquad C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$
**5. Câu hỏi phân loại quyết định**
- Dùng toàn bộ $n$ phần tử? Nếu có và xếp thứ tự: hoán vị.
- Chỉ chọn $k<n$? Hỏi đổi vị trí hai phần tử có tạo kết quả khác không.
- Có: chỉnh hợp. Không: tổ hợp.
Nếu đề cho phép lặp, không được tự động dùng ba công thức trên.
**6. Xếp các phần tử phải đứng cạnh nhau**
Gộp nhóm bắt buộc cạnh nhau thành một “khối”, xếp khối cùng các phần tử còn lại, rồi nhân số hoán vị bên trong khối. Ví dụ hai bạn $A,B$ cạnh nhau trong hàng $n$ người:
$2(n-1)!$
**7. Các phần tử không được cạnh nhau**
Cách thường dùng:
$N_{không\ cạnh}=N_{tất\ cả}-N_{cạnh}$
Hoặc xếp nhóm nền trước rồi chèn các phần tử bị tách vào các khoảng trống khi có nhiều đối tượng không được kề nhau.
**8. Chọn nhóm có điều kiện**
- Một người bắt buộc có mặt: cố định người đó rồi chọn phần còn lại.
- Ít nhất một phần tử loại A: lấy tổng số nhóm trừ nhóm không có A.
- Đúng $r$ phần tử loại A: $C_{n_A}^{r}C_{n_B}^{k-r}$ nếu hai nhóm rời nhau.
ezonthi