Toán học Lớp 10. Phân biệt trường hợp loại trừ nhau, công đoạn liên tiếp và tình huống có phần giao để thiết lập phép đếm đúng.
Kiến thức cần nhớ
**1. Nguyên tắc đếm đúng đối tượng**
Trước khi tính, phải mô tả rõ “một kết quả” gồm những gì. Hai cách chỉ khác cách thực hiện nhưng tạo cùng kết quả cuối thì không được đếm hai lần, trừ khi đề coi thứ tự/quy trình là khác nhau.
**2. Quy tắc cộng**
Nếu công việc được hoàn thành theo **một trong** các trường hợp đôi một không giao nhau, có lần lượt $n_1,n_2,\ldots,n_k$ cách thì tổng số cách là:
$n_1+n_2+\cdots+n_k$
Dấu hiệu: chọn đúng một phương án thuộc một trong nhiều nhóm rời nhau.
**3. Quy tắc nhân**
Nếu công việc gồm các công đoạn liên tiếp; công đoạn 1 có $n_1$ cách, với mỗi lựa chọn đó công đoạn 2 có $n_2$ cách,... thì số cách là:
$n_1n_2\cdots n_k$
Dấu hiệu: kết quả phải thực hiện **đồng thời/tiếp theo** đủ các công đoạn. “Độc lập” ở đây nghĩa số lựa chọn của bước sau đã được xác định đúng cho từng nhánh, không phải khái niệm biến cố độc lập.
**4. Khi số lựa chọn phụ thuộc nhánh**
Nếu sau mỗi lựa chọn ở bước đầu, số cách bước sau khác nhau, không được nhân một con số chung. Hãy vẽ cây hoặc chia trường hợp; tính tích trên từng nhánh rồi cộng các nhánh.
**5. Bao hàm–loại trừ**
Với hai tập hữu hạn:
$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$
Phần giao bị cộng hai lần nên phải trừ một lần. Số phần tử không thuộc nhóm nào trong tập nền $U$ là:
$|U|-|A\cup B|$
**6. Phương pháp biến cố đối trong bài đếm**
Số cách thỏa “ít nhất một” thường tính nhanh bằng:
$N_{đúng}=N_{tất\ cả}-N_{không\ có}$
Chỉ dùng khi tập “tất cả” dễ đếm và phần bù bao phủ đúng mọi trường hợp vi phạm.
**7. Mã, số và chuỗi lựa chọn**
Mỗi vị trí là một công đoạn. Phải kiểm tra: có được lặp không, chữ số đầu có được bằng 0 không, các vị trí có vai trò khác nhau không và điều kiện có làm số lựa chọn bước sau thay đổi không.
**8. Quy trình chọn quy tắc**
Xác định một kết quả; hỏi các trường hợp là “hoặc” hay các bước là “và”; kiểm tra giao nhau; kiểm tra ràng buộc và sự phụ thuộc; tính; cuối cùng thử một trường hợp nhỏ để phát hiện đếm trùng/bỏ sót.
ezonthi