Toán học Lớp 10. Tính tích vô hướng của hai vectơ dựa trên độ dài và góc hoặc dựa trên tọa độ Oxy; ứng dụng tích vô hướng để tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai vectơ và chứng minh tính vuông góc.
Kiến thức cần nhớ
**1. Định nghĩa tích vô hướng**
Với hai vectơ khác $\vec0$ và góc $0^\circ\le\theta\le180^\circ$ giữa chúng:
$\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\,|\vec v|\cos\theta$
Kết quả là một **số**, không phải vectơ. Nếu một vectơ bằng $\vec0$ thì tích vô hướng bằng 0 nhưng góc với vectơ đó không được xác định.
**2. Dấu của tích vô hướng**
- Góc nhọn: $\vec u\cdot\vec v>0$.
- Góc vuông: $\vec u\cdot\vec v=0$.
- Góc tù: $\vec u\cdot\vec v<0$.
Với hai vectơ khác $\vec0$:
$\vec u\perp\vec v\Longleftrightarrow\vec u\cdot\vec v=0$
**3. Các tính chất đại số**
$\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$
$\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$
$(k\vec u)\cdot\vec v=k(\vec u\cdot\vec v)$
Các quy tắc này cho phép khai triển biểu thức vectơ như đại số, nhưng mỗi tích hai vectơ cho ra một số.
**4. Bình phương và độ dài**
$\vec u\cdot\vec u=|\vec u|^2$
Do đó:
$|\vec u\pm\vec v|^2=|\vec u|^2+|\vec v|^2\pm2\vec u\cdot\vec v$
Muốn tìm độ dài biểu thức vectơ, thường tính bình phương trước rồi lấy căn không âm.
**5. Tính góc**
Với $\vec u,\vec v\ne\vec0$:
$\cos\theta=\frac{\vec u\cdot\vec v}{{|\vec u|\,|\vec v|}}$
Sau khi bấm $\arccos$, kiểm tra máy ở chế độ độ và kết quả thuộc $[0^\circ;180^\circ]$. Dấu tích vô hướng giúp kiểm tra nhanh góc nhọn hay tù.
**6. Biểu thức tọa độ**
Nếu $\vec u=(x_1;y_1)$, $\vec v=(x_2;y_2)$ thì:
$\vec u\cdot\vec v=x_1x_2+y_1y_2,\qquad |\vec u|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$
Với $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$:
$\vec{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$
**7. Bài toán tham số vuông góc**
Lập đúng hai vectơ, khai triển tích vô hướng rồi giải:
$\vec u(m)\cdot\vec v(m)=0$
Sau khi tìm $m$, cần kiểm tra vectơ có bị bằng $\vec0$ hay dữ kiện hình học có suy biến không.
**8. Xác định đúng góc hình học**
Góc giữa $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ là $\angle BAC$. Nhưng góc giữa $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ là góc giữa $\vec{BA}$ và $\vec{BC}$ bù với nó, vì $\vec{AB}=-\vec{BA}$. Hãy đưa hai vectơ về chung gốc trước khi đọc góc.
ezonthi