Toán học Lớp 10. Biểu diễn một vectơ theo hai vectơ không cùng phương cho trước và ứng dụng biểu thức vectơ để chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc hai đường thẳng song song.
Kiến thức cần nhớ
**1. Các quy tắc vectơ nền tảng**
Với ba điểm bất kỳ:
$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC},\qquad \vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}$
Ngoài ra $\vec{AB}=-\vec{BA}$. Khi chèn điểm, phải giữ đúng điểm cuối của vectơ trước trùng điểm đầu của vectơ sau.
**2. Nhân vectơ với một số**
$k\vec u$ cùng phương với $\vec u$; cùng hướng nếu $k>0$, ngược hướng nếu $k<0$, và bằng $\vec 0$ nếu $k=0$ hoặc $\vec u=\vec 0$. Độ dài:
$|k\vec u|=|k|\,|\vec u|$
**3. Phân tích theo hai vectơ cơ sở**
Nếu $\vec e_1,\vec e_2$ không cùng phương thì mọi vectơ trong mặt phẳng biểu diễn duy nhất dưới dạng:
$\vec u=x\vec e_1+y\vec e_2$
Trong tam giác $ABC$, thường chọn $\vec{AB},\vec{AC}$ làm cơ sở rồi đưa tất cả vectơ về cùng gốc $A$. Tính duy nhất cho phép so sánh riêng các hệ số.
**4. Trung điểm và trọng tâm**
Nếu $M$ là trung điểm $BC$:
$\vec{AM}=\frac12\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right)$
Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$:
$\vec{AG}=\frac13\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right)=\frac23\vec{AM}$
Các công thức chỉ đúng với đúng thứ tự điểm và gốc đang viết.
**5. Điểm chia đoạn**
Nếu $M$ nằm trong đoạn $AB$ và $AM:MB=m:n$ với $m,n>0$ thì:
$\vec{AM}=\frac{m}{m+n}\vec{AB}$
Với gốc tùy ý $O$:
$\vec{OM}=\frac{n\vec{OA}+m\vec{OB}}{m+n}$
Hệ số của đầu mút $A$ đi cùng độ dài đoạn đối diện $MB=n$, và ngược lại.
**6. Điều kiện cùng phương và thẳng hàng**
Hai vectơ khác $\vec0$ cùng phương khi tồn tại $k$ sao cho $\vec u=k\vec v$. Ba điểm phân biệt $A,M,N$ thẳng hàng khi $\vec{AM}$ và $\vec{AN}$ cùng phương:
$\vec{AM}=k\vec{AN}$
Nếu $\vec{AM}=a\vec e_1+b\vec e_2$ và $\vec{AN}=c\vec e_1+d\vec e_2$, điều kiện là tồn tại cùng một $k$ thỏa $a=kc$, $b=kd$.
**7. Điều kiện tọa độ**
Với $\vec u=(x_1;y_1)$, $\vec v=(x_2;y_2)$, hai vectơ cùng phương khi:
$x_1y_2-y_1x_2=0$
Có thể dùng điều kiện này cho bài tham số hoặc lập $\vec{AB},\vec{AC}$ để kiểm tra ba điểm thẳng hàng. Không chia tỉ số thành phần khi mẫu có thể bằng 0.
**8. Quy trình bài nhiều điểm phụ**
Chọn một gốc và hai vectơ cơ sở; biểu diễn từng điểm phụ theo tỉ số; lập vectơ nối bằng “vectơ vị trí điểm cuối trừ điểm đầu”; thu gọn hệ số; cuối cùng mới dùng điều kiện cùng phương hoặc đọc kết quả cần tìm.
ezonthi