Toán học Lớp 10. Tìm các hệ số a, b, c của parabol $y = ax^2 + bx + c$ dựa trên các yếu tố hình học cho trước (đỉnh, trục đối xứng, điểm đi qua) và ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong bài toán thực tế.
Kiến thức cần nhớ
**1. Hàm số bậc hai**
$f(x)=ax^2+bx+c\qquad(a\ne0)$
Tập xác định là $\mathbb R$ và đồ thị là parabol. $a>0$ parabol mở lên; $a<0$ mở xuống.
**2. Đỉnh và trục đối xứng**
Đặt $\Delta=b^2-4ac$:
$x_I=-\frac b{2a},\qquad y_I=f(x_I)=-\frac{\Delta}{4a}$
Đỉnh $I(x_I;y_I)$ và trục đối xứng $x=x_I$. Dạng đỉnh:
$f(x)=a(x-x_I)^2+y_I$
**3. Chiều biến thiên**
Nếu $a>0$, hàm giảm trên $(-\infty;x_I)$ và tăng trên $(x_I;+\infty)$. Nếu $a<0$, chiều biến thiên ngược lại. Đỉnh là điểm đổi chiều.
**4. Giao trục và nghiệm**
Đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;c)$. Giao với $Ox$ là nghiệm của $ax^2+bx+c=0$: hai điểm khi $\Delta>0$, tiếp xúc khi $\Delta=0$, không cắt khi $\Delta<0$. Nếu biết hai nghiệm $x_1,x_2$:
$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$
**5. Cực trị trên toàn $\mathbb R$**
$a>0$: GTNN là $y_I$, không có GTLN. $a<0$: GTLN là $y_I$, không có GTNN. Kết luận này chỉ dành cho toàn trục số.
**6. GTLN/GTNN trên đoạn $[m;n]$**
Tính $f(m),f(n)$ và thêm $f(x_I)$ nếu $x_I\in[m;n]$; so sánh các giá trị. Nếu đỉnh nằm ngoài đoạn, cực trị đạt tại các đầu mút theo chiều biến thiên.
**7. Xác định parabol từ dữ kiện**
- Biết đỉnh và một điểm: dùng dạng đỉnh.
- Biết hai nghiệm và một điểm: dùng dạng tích.
- Biết ba điểm có hoành độ phân biệt: thay vào dạng tổng quát để lập hệ.
- Biết trục và hai điều kiện khác: dùng $b=-2ax_I$ rồi giải các hệ số.
**8. Bài chứa tham số trên đoạn**
Vị trí đỉnh phụ thuộc tham số nên thường phải chia trường hợp $x_I<m$, $m\le x_I\le n$, $x_I>n$. Sau mỗi trường hợp phải kiểm tra lại điều kiện tham số.
ezonthi