Phương trình quy về phương trình bậc hai

Kiến thức cần nhớ

**1. Phạm vi Bài 18** Bài học tập trung vào hai dạng: $\sqrt{P(x)}=\sqrt{Q(x)},\qquad \sqrt{P(x)}=ax+b,$ trong đó sau khi bình phương và thu gọn ta nhận được phương trình bậc hai hoặc bậc nhất. Không cần dùng các kĩ thuật căn thức nâng cao ngoài phạm vi này.

**2. Bình phương không phải lúc nào cũng tương đương** Từ $A=B$ suy ra $A^2=B^2$, nhưng chiều ngược lại có thể sai vì $A^2=B^2$ còn cho phép $A=-B$. Do đó nghiệm của phương trình sau bình phương chỉ là **nghiệm ứng viên** và phải thử lại.

**3. Dạng căn bằng căn** Với $\sqrt{P(x)}=\sqrt{Q(x)}$, bình phương cho $P(x)=Q(x)$. Giải phương trình nhận được, sau đó thay từng nghiệm vào phương trình ban đầu. Việc thử lại đồng thời kiểm tra hai biểu thức dưới căn có không âm hay không.

**4. Dạng căn bằng biểu thức bậc nhất** Với $\sqrt{P(x)}=ax+b$, vế trái luôn không âm nên điều kiện cần là $ax+b\ge0$. Bình phương, giải phương trình nhận được rồi chỉ giữ nghiệm thỏa điều kiện và phương trình ban đầu.

**5. Vì sao vẫn phải thử lại khi đã đặt điều kiện?** Điều kiện $ax+b\ge0$ thường giúp loại nghiệm ngoại lai, nhưng thao tác an toàn và phù hợp với bài học là thay trực tiếp từng nghiệm ứng viên vào phương trình ban đầu trước khi kết luận.

**6. Trường hợp phương trình sau bình phương suy biến** Sau khi thu gọn có thể nhận phương trình bậc nhất, đẳng thức đúng với mọi x hoặc mệnh đề vô lí. Khi đó vẫn phải quay lại điều kiện ban đầu; chẳng hạn $\sqrt{(x-2)^2}=x-2$ đúng khi và chỉ khi $x\ge2$.

**7. Bài hỏi số nghiệm và tham số** Tách hai lớp điều kiện: phương trình đại số sau bình phương phải có nghiệm thực, và các nghiệm ấy phải làm hai vế ban đầu bằng nhau. Không chỉ dựa vào biệt thức của phương trình sau bình phương.

**8. Mô hình khoảng cách** Khoảng cách trong tam giác vuông thường có dạng $\sqrt{x^2+a^2}$. Sau khi lập phương trình từ dữ kiện bằng nhau hoặc hơn kém một độ dài, cần giữ điều kiện độ dài không âm và kiểm tra nghiệm có thuộc miền thực tế.

Dấu hiệu nhận biết

• Hai vế là căn bậc hai của các tam thức hoặc một vế là căn thức, vế còn lại là biểu thức bậc nhất.
• Sau khi bình phương hai vế và thu gọn, phương trình nhận được có bậc không quá hai.

Các bước làm bài

• Nhận dạng đúng dạng phương trình và ghi điều kiện cần, đặc biệt vế không chứa căn phải không âm.
• Bình phương hai vế rồi thu gọn về phương trình bậc hai hoặc phương trình bậc nhất.
• Giải phương trình nhận được để tìm các nghiệm ứng viên.
• Thay từng ứng viên vào phương trình ban đầu, loại nghiệm không thỏa và kết luận.

Lỗi thường gặp

• Xem phép bình phương là biến đổi tương đương và nhận mọi nghiệm của phương trình sau bình phương.
• Quên điều kiện vế bậc nhất phải không âm trong phương trình căn bằng biểu thức.
• Chỉ kiểm tra biểu thức dưới căn mà không thử lại phương trình ban đầu.