Toán học Lớp 10. Giải bất phương trình bậc hai, tích và thương; xử lí dấu bằng, điều kiện xác định, tham số và mô hình thực tế.
Kiến thức cần nhớ
**1. Bất phương trình bậc hai một ẩn**
Có dạng
$ax^2+bx+c>0,\quad ax^2+bx+c<0,\quad ax^2+bx+c\ge0,\quad ax^2+bx+c\le0$
với $a\ne0$. Tập nghiệm chính là phần trục số nơi tam thức có dấu được yêu cầu.
**2. Quy trình chuẩn**
(1) Chuyển mọi hạng tử về một vế; (2) tìm nghiệm của tam thức; (3) lập bảng xét dấu; (4) chọn các khoảng đúng dấu; (5) quyết định có lấy mốc hay không. Không “chuyển vế rồi đổi chiều” tùy tiện.
**3. Dấu nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt**
Với
ezonthi
gt;0$ hoặc
ezonthi
lt;0$, loại các điểm làm biểu thức bằng $0$. Với $\ge0$ hoặc $\le0$, lấy nghiệm của tử/tam thức. Riêng điểm làm mẫu bằng $0$ luôn bị loại, dù bất phương trình có dấu bằng.**4. Mẫu nghiệm nhanh khi $\Delta>0$**
Nếu $x_1<x_2$:
- yêu cầu cùng dấu $a$: lấy $(-\infty;x_1)\cup(x_2;+\infty)$;
- yêu cầu trái dấu $a$: lấy $(x_1;x_2)$.
Thêm hai đầu mút khi dấu bất phương trình có “$=$”.
**5. Khi $\Delta\le0$**
$\Delta<0$: tam thức luôn cùng dấu $a$, nên tập nghiệm là $\mathbb R$ hoặc $\varnothing$. $\Delta=0$: phải xét riêng nghiệm kép; chẳng hạn $a(x-x_0)^2>0$ có nghiệm $\mathbb R\setminus\{x_0\}$.
**6. Bất phương trình tích**
Đưa về tích các nhân tử, tìm tất cả nghiệm của từng nhân tử, sắp các mốc và lập một bảng dấu chung. Không giải riêng từng nhân tử rồi lấy hợp một cách máy móc vì dấu của tích phụ thuộc số nhân tử âm.
**7. Bất phương trình thương**
Tìm nghiệm tử và điều kiện mẫu khác $0$, rồi lập bảng dấu theo tất cả mốc. Nghiệm của tử có thể được lấy khi có dấu bằng; nghiệm của mẫu không bao giờ được lấy.
**8. Nhân tử lặp và rút gọn**
Nhân tử mũ chẵn không làm đổi dấu khi đi qua nghiệm. Nếu rút gọn nhân tử chung trong phân thức, điều kiện loại của biểu thức ban đầu vẫn phải được giữ lại.