Toán học Lớp 10. Xét dấu tam thức từ hệ số, biệt thức và nghiệm; đọc bảng dấu; xử lí điều kiện tham số để biểu thức luôn dương, âm, không âm hoặc không dương.
Kiến thức cần nhớ
**1. Tam thức bậc hai**
Tam thức bậc hai có dạng
$f(x)=ax^2+bx+c\qquad(a\ne0).$
Muốn xét dấu, trước hết tính $\Delta=b^2-4ac$ và, khi $\Delta\ge0$, tìm các nghiệm thực của $f(x)=0$.
**2. Trường hợp $\Delta<0$**
Tam thức không có nghiệm thực và luôn cùng dấu với hệ số $a$:
- $a>0\Rightarrow f(x)>0$ với mọi $x\in\mathbb R$;
- $a<0\Rightarrow f(x)<0$ với mọi $x\in\mathbb R$.
**3. Trường hợp $\Delta=0$**
Tam thức có nghiệm kép $x_0=-\dfrac b{2a}$ và
$f(x)=a(x-x_0)^2.$
Nó cùng dấu với $a$ khi $x\ne x_0$ và bằng $0$ tại $x=x_0$. Vì thế “luôn dương” khác “không âm”.
**4. Trường hợp $\Delta>0$**
Gọi $x_1<x_2$ là hai nghiệm. Tam thức **cùng dấu với $a$ ở ngoài**, **trái dấu với $a$ ở trong**:
$\begin{array}{c|ccccc}x&(-\infty;x_1)&x_1&(x_1;x_2)&x_2&(x_2;+\infty)\\ \hline f(x)&\operatorname{sgn}(a)&0&-\operatorname{sgn}(a)&0&\operatorname{sgn}(a)\end{array}$
**5. Cách nhớ có bản chất**
Nếu phân tích được $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, ở ngoài hai nghiệm hai thừa số cùng dấu nên tích mang dấu $a$; ở giữa hai nghiệm chúng trái dấu nên tích đổi dấu. Không cần học thuộc bảng dấu rời rạc.
**6. Đọc và lập bảng xét dấu**
Sắp các nghiệm từ nhỏ đến lớn, đặt đúng các mốc trên trục số, ghi $0$ tại nghiệm rồi điền dấu theo $a$. Nghiệm kép không làm đổi dấu; hai nghiệm đơn làm dấu đổi khi đi qua từng nghiệm.
**7. Điều kiện tam thức luôn dương hoặc luôn âm**
Với đúng tam thức bậc hai ($a\ne0$):
$f(x)>0\ \forall x\Longleftrightarrow a>0,\Delta<0;$
$f(x)\ge0\ \forall x\Longleftrightarrow a>0,\Delta\le0;$
$f(x)<0\ \forall x\Longleftrightarrow a<0,\Delta<0;$
$f(x)\le0\ \forall x\Longleftrightarrow a<0,\Delta\le0.$
**8. Bài chứa tham số**
Hệ số đầu $a$ có thể phụ thuộc tham số. Phải tách trường hợp $a=0$ trước vì biểu thức lúc đó trở thành bậc nhất hoặc hằng, không được tiếp tục áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai.
ezonthi