Toán học Lớp 10. Nhận biết mệnh đề, xác định chân trị, phủ định đúng lượng từ và phân tích mệnh đề kéo theo, tương đương, điều kiện cần–đủ.
Kiến thức cần nhớ
**1. Mệnh đề và mệnh đề chứa biến**
Mệnh đề là câu khẳng định có đúng một giá trị đúng hoặc sai. Câu hỏi, mệnh lệnh không phải mệnh đề. Câu chứa biến như “$x>2$” chỉ trở thành mệnh đề khi gán $x$ hoặc thêm lượng từ và tập nền.
**2. Phủ định**
Phủ định $\neg P$ đúng khi $P$ sai và sai khi $P$ đúng. Với quan hệ số:
$\neg(x>a)\equiv x\le a,\qquad \neg(x\ge a)\equiv x<a$
Phủ định phải bao phủ toàn bộ trường hợp còn lại, không chỉ thêm từ “không” tùy ý.
**3. Phủ định phép nối logic**
$\neg(P\land Q)\equiv\neg P\lor\neg Q$
$\neg(P\lor Q)\equiv\neg P\land\neg Q$
$\neg(P\Rightarrow Q)\equiv P\land\neg Q$
Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi giả thiết đúng nhưng kết luận sai.
**4. Lượng từ**
$\neg(\forall x\in D,\ P(x))\equiv\exists x\in D:\neg P(x)$
$\neg(\exists x\in D:\ P(x))\equiv\forall x\in D,\neg P(x)$
Khi phủ định phải giữ đúng tập nền $D$ và đổi cả lượng từ lẫn mệnh đề bên trong.
**5. Mệnh đề kéo theo**
$P\Rightarrow Q$ đọc “nếu P thì Q”. Khi đó P là **điều kiện đủ** của Q; Q là **điều kiện cần** của P. Mệnh đề đảo là $Q\Rightarrow P$ và không tự động tương đương mệnh đề ban đầu.
**6. Phản đảo**
Mệnh đề phản đảo của $P\Rightarrow Q$ là:
$\neg Q\Rightarrow\neg P$
Mệnh đề ban đầu và phản đảo luôn tương đương logic. Điều này khác mệnh đề đảo và mệnh đề phản.
**7. Tương đương và cần–đủ**
$P\Leftrightarrow Q$
đúng khi $P,Q$ cùng chân trị, tương đương với việc cả $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng. Khi đó P là điều kiện cần và đủ của Q.
**8. Chứng minh và phản ví dụ**
Để bác bỏ mệnh đề “mọi $x$ đều có P”, chỉ cần một phản ví dụ thỏa tập nền nhưng không có P. Một ví dụ đúng không chứng minh được mệnh đề toàn thể. Với mệnh đề tồn tại, một ví dụ thỏa là đủ.
ezonthi