Toán học Lớp 10. Lập phương trình đường thẳng, xét vị trí tương đối và tính khoảng cách trong mặt phẳng tọa độ.
Kiến thức cần nhớ
**1. Vectơ chỉ phương và pháp tuyến**
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec u=(u_1;u_2)\ne\vec0$. Một vectơ pháp tuyến vuông góc với $d$ là:
$\vec n=(a;b)\ne\vec0$
Nếu $\vec n=(a;b)$ thì có thể chọn $\vec u=(-b;a)$ hoặc $(b;-a)$.
**2. Phương trình tổng quát**
Đường thẳng qua $M_0(x_0;y_0)$ và có pháp tuyến $(a;b)$:
$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$
Dạng tổng quát $ax+by+c=0$ có pháp tuyến $(a;b)$, với $a^2+b^2>0$. Kiểm tra điểm thuộc đường bằng cách thay tọa độ vào phương trình.
**3. Phương trình tham số**
Đường qua $M_0(x_0;y_0)$ và có chỉ phương $(u_1;u_2)$:
$\begin{cases}x=x_0+u_1t\\y=y_0+u_2t\end{cases}\qquad(t\in\mathbb R)$
Muốn đổi sang tổng quát, dùng một pháp tuyến vuông góc với vectơ chỉ phương.
**4. Lập đường thẳng từ hai điểm**
Với hai điểm phân biệt $A,B$, lấy $\vec{AB}$ làm chỉ phương. Nếu $A=B$, dữ kiện chưa xác định một đường duy nhất. Có thể tìm pháp tuyến $(-\Delta y;\Delta x)$ rồi dùng dạng điểm–pháp tuyến.
**5. Vị trí tương đối**
Cho $d_i:a_ix+b_iy+c_i=0$.
- Song song phân biệt: $(a_1;b_1)$ tỉ lệ $(a_2;b_2)$ nhưng bộ ba hệ số không tỉ lệ.
- Trùng nhau: $(a_1;b_1;c_1)$ tỉ lệ $(a_2;b_2;c_2)$.
- Cắt nhau: hai pháp tuyến không cùng phương.
- Vuông góc: $a_1a_2+b_1b_2=0$.
**6. Góc giữa hai đường thẳng**
Góc nhọn hoặc vuông $\varphi$ giữa hai đường:
$\cos\varphi=\frac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$
Giá trị tuyệt đối chọn góc không tù giữa hai đường; không nhầm với góc có hướng giữa hai vectơ.
**7. Khoảng cách từ điểm đến đường**
Với $M(x_0;y_0)$ và $d:ax+by+c=0$:
$d(M,d)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Phương trình đường phải ở dạng tổng quát; tử có giá trị tuyệt đối và mẫu là độ dài pháp tuyến.
**8. Khoảng cách giữa hai đường song song**
Trước tiên chuẩn hóa để hai phương trình có cùng hệ số $a,b$:
$d:ax+by+c_1=0,\qquad d\prime:ax+by+c_2=0$
Khi đó:
$d(d,d\prime)=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
ezonthi