Toán học Lớp 10. Khai triển nhị thức và khai thác số hạng tổng quát để tìm hệ số hoặc số hạng không chứa biến.
Kiến thức cần nhớ
**1. Công thức nhị thức Newton**
Với $n\in\mathbb N$:
$(u+v)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k u^{n-k}v^k$
Khai triển có $n+1$ số hạng trước khi gộp các số hạng đồng dạng.
**2. Số hạng tổng quát và cách đánh số**
Số hạng ứng với chỉ số $k$ là:
$T_{k+1}=C_n^k u^{n-k}v^k\qquad(0\le k\le n)$
Vì chỉ số bắt đầu từ $k=0$, **số hạng thứ $r$** tương ứng $k=r-1$.
**3. Khai triển có dấu trừ**
Với $(u-v)^n$, đặt số hạng thứ hai là $-v$:
$T_{k+1}=C_n^k u^{n-k}(-v)^k$
Dấu phụ thuộc tính chẵn lẻ của $k$; không được đặt tất cả số hạng giữa mang cùng dấu.
**4. Tìm hệ số của $x^m$**
Nếu $u=ax^p$, $v=bx^q$ thì:
$T_{k+1}=C_n^k a^{n-k}b^k x^{p(n-k)+qk}$
Giải phương trình số mũ $p(n-k)+qk=m$, rồi kiểm tra $k$ là số nguyên thuộc $[0;n]$. Hệ số cần tìm gồm cả $C_n^k$, lũy thừa của $a,b$ và dấu.
**5. Số hạng không chứa $x$**
Đặt tổng số mũ của $x$ bằng 0. Nếu phương trình cho $k$ không nguyên hoặc ngoài $0\le k\le n$, khai triển **không có** số hạng độc lập. Nếu có, phải thay $k$ vào toàn bộ $T_{k+1}$ để lấy cả hệ số.
**6. Khai triển đầy đủ**
Viết lần lượt $k=0,1,\ldots,n$; kiểm tra số mũ của $u$ giảm từ $n$ về 0, số mũ của $v$ tăng từ 0 lên $n$, và tổng hai số mũ luôn bằng $n$.
**7. Các tính chất hệ số**
Do $C_n^k=C_n^{n-k}$, dãy hệ số nhị thức đối xứng. Tổng các hệ số của đa thức theo $x$ có thể tìm bằng cách cho $x=1$ sau khi đã khai triển về đúng đa thức; tổng hệ số bậc chẵn/lẻ có thể dùng thêm $x=-1$ khi phù hợp.
**8. Quy trình giải nhanh**
Xác định chính xác $u,v,n$; viết một lần $T_{k+1}$; rút gọn hệ số và số mũ của $x$; giải điều kiện số mũ; kiểm tra miền nguyên của $k$; cuối cùng mới tính hệ số/số hạng.
ezonthi